Значение и корни многочлена

Пусть $f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0} \in K[x]$, где $K$ - кольцо. Если $b \in K$, то $f(b)$ - **значение многочлена** в точке $b$.

Число $c$ называется корнем многочлена $f(x) \in F[x]$, если $f(c) = 0$

Любой многочлен $f(x) \in \mathbb{C}[x]$, $\deg f \geq 1$ имеет корень.

Многочлен степени $n$ над $\mathbb{C}$ имеет $n$ корней

Пусть $\deg f(x) = n \geq 1$, тогда по теореме Безу: $$f(x) = (x - c_{1})q(x) = (x - c_{1})(x - c_{2})q_{2}(x) = \dots = a_n(x - c_{1})(x - c_{2}) \dots (x-c_{n})$$ где $a_{n}$ старший коэффициент $f(x)$, $c_{1}$ - корень $f(x)$, $c_{2}$ - корень $q(x)$ и т.д. $\square$

Пусть $f(x) \in \mathbb{R}[x]$. Если $c \in \mathbb{C}$ является корнем $f(x)$, то $\overline{c}$ также является корнем $f(x)$.

Пусть $f(x) = \sum\limits_{k=0}^{n} a_k x^k$, где $a_k \in \mathbb{R}$. Если $f(c) = 0$ для $c \in \mathbb{C}$, то: $$ \sum_{k=0}^{n} a_k c^k = 0 $$ Комплексно сопрягая обе части, получаем: $$ \overline{\sum_{k=0}^{n} a_k c^k} = \overline{0} $$ $$ \sum_{k=0}^{n} \overline{a_k c^k} = \sum_{k=0}^{n} \overline{a_k} \overline{c^k} = 0 $$ Так как коэффициенты $a_k$ вещественны, $\overline{a_k} = a_k$. Также $\overline{c^k} = (\overline{c})^k$. Тогда: $$ \sum_{k=0}^{n} a_k (\overline{c})^k = 0 $$ Это означает, что $f(\overline{c}) = 0$. $\square$

Чисто комплексные корни многочлена над $\mathbb{R}$ входят с учётом их кратности.

Многочлен нечётной степени над $\mathbb{R}$ имеет действительный корень

Пусть $f(x) = \sum\limits_{i=0}^{n} a_{i}x^{i} \in \mathbb{Q}[x]$. Если несократимая дробь $\dfrac{p}{q}$ ($\operatorname{НОД}(p, q) = 1$) является корнем $f(x)$, то $p$ делит $a_0$ (свободный член), а $q$ делит $a_n$ (старший коэффициент).

Поскольку $f\left(\dfrac{p}{q}\right) = 0$, имеем: $$a_n \left(\dfrac{p}{q}\right)^n + a_{n-1}\left(\dfrac{p}{q}\right)^{n-1} + \dots + a_1 \left(\dfrac{p}{q}\right) + a_0 = 0$$ Умножив на $q^n$: $$ a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \dots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n = 0 \quad (*) $$ Из уравнения $(*)$ получаем: $$a_0 q^n = -(a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1} q + \dots + a_1 p q^{n-1}) = -p(a_n p^{n-1} + a_{n-1} p^{n-2} q + \dots + a_1 q^{n-1})$$ Следовательно, $p \mid a_0 q^n$. Так как $\operatorname{НОД}(p,q)=1$, то $p \mid a_0$. Аналогично, из $(*)$ получаем: $$a_n p^n = -(a_{n-1} p^{n-1} q + \dots + a_1 p q^{n-1} + a_0 q^n) = -q(a_{n-1} p^{n-1} + a_{n-2} p^{n-2} q^{n-1} + \dots + a_0 q^{n-1})$$ Следовательно, $q \mid a_n p^n$. Так как ${} \operatorname{НОД}(p,q)=1 {}$, то $q \mid a_n$. $\square$